如果已经确定三边长度当然可以。（下划另外几种）

如果确定两边长度及两边夹角，那么也可以唯一确定三角形。
$SAS$ 公理。

其实给定任何一样东西都可以确定一个解集。比如说。。

$SSA$ 的“准双值性”

发现 $SSA$ 的双值性。如下。

让绿色的角为定角，有两个三角形满足条件。

（下滑看神奇的东西）

但是也可以见得，如果圆心所在的那条线段抬高一点，那么下方两点会不断收束，而在一定情况下 两点相交

这有什么用呢？

$\mathcal{HL}$ 不就是这样说的嘛？所以在这个时候取得唯一解。

为什么呢？可以给下方两点距离看作一个 $|y-x|$。当 $y=x$ 的时候这个绝对值值是唯一的 $0$ 啊。

这是一件很美妙的事情呢。

“形状和面积确定的三角形全等。”

那么考虑利用三顶点位置确定三角形面积。

如果算出顶点距离然后用后面的方法算实在是有些暴殄天物。

所以考虑四年级数学老师讲的不太好证明的定理。

(下滑查看)

$p\ i\ c\ k\ $ 皮克定理

不仅是三角形，对任意格点多边形有效。

数出三角形内部的格点数量 $n$ ，然后数一下在边上的格点数量 $m.$

此时三角形面积

$$S=n+\dfrac{m}{2}-1.$$

证明略。美丽的梦境不必去解。

当然你也可以借助坐标系的力量用两点距离 $$dis((x,y),(x',y'))=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$$ 去算距离。但是这不太优雅呢。

如果真的只知道三边呢？你可以把一个顶点架在原点然后数格点嘛。但是有的时候这会很麻烦。

考虑海伦公式或者向量积。

先说说海伦公式：

设三边长度分为 $a,b,c.$

令 $p=\dfrac{a+b+c}{2},$

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

向量积？放底下了。

任意多边形在知道各点坐标之后都可以向量积。

但是我懒得打 $\LaTeX.$ 人话我忘记了。

那么问题就来了，海伦公式应该怎么证明呢？

$\texttt{proof:}$ 海伦公式：

$$h^2 = a^2-x^2, (c-x)^2+h^2=b^2. *$$

将 $*$ 代入 $\#$ 得到 $(c-x)^2+h^2=b^2. \#$

那么 $c^2-2cx+a^2=b^2$ 解得 $x=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2c}$ 代入 $*$ 得

$$h=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2c} \right)}$$

由 $S=\dfrac{ch}{2}$ 得， $$\begin{aligned} S&=\dfrac{1}{2}c\sqrt{a^2-\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)}\\ &=\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{4}-\dfrac{(c^2+a^2-b^2)^2}{4^2}}\\ &=\sqrt{\left(\dfrac{a^2c^2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{4}\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(\dfrac{ac}{2}-\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)\left(\dfrac{ac}{2}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)} \end{aligned}$$

刚刚的平方差公式一定很巧妙吧？下面还有更加优美的通分。 $$\begin{aligned} S&=\left[\dfrac{b^2-(a-c)^2}{4}\right]\left[\dfrac{(a+c)^2-b^2}{4}\right]\\ &=\left[\dfrac{b-a+c}{2}\right]\left[\dfrac{b+a-c}{2}\right]\left[\dfrac{a+c-b}{2}\right]\left[\dfrac{a+b+c}{2}\right] \end{aligned}$$ 已经这个样子了。。 $$\texttt{Solved!!}$$ 代码见右。